Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\)
LG a
Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng A, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB và tia Oz cùng hướng tới tia CS (h.98). Khi đó, ta có:
\(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\)
\(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\)
\(\eqalign{ & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2 - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow {MN} = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}} \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)
Dấu "=" xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a.
Vậy MN ngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\)
LG b
Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Lời giải chi tiết:
Khi MN ngắn nhất thì :
\(\overrightarrow {MN} = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung của SA và BC.
