Một hình nón có bán kính đáy r, chiều cao bằng 3r. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón và thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
LG 1
Thể tích của hình trụ đạt giá trị lớn nhất;
Lời giải chi tiết:
Xét mặt phẳng qua trục hình nón cắt hình nón và hình trụ nội tiếp hình nón, ta được tam giác cân SAB và hình chữ nhật \(MN{N_1}{M_1}\) nội tiếp SAB. Ở đó AB = 2r, SH = 3r, MN bằng đường kính của đáy hình trụ, \(NN_1\) bằng chiều cao của hình trụ.
Kí hiệu \({r_1}\) là bán kính đáy hình trụ, \({h_1}\) là chiều cao hình trụ, ta có \(0 < {r_1} < r,0 < {h_1} < h\) và
\({{{r_1}} \over r} = {{S{H_1}} \over {SH}} = {{SH - {h_1}} \over {SH}} = {{3r - {h_1}} \over {3r}},\) từ đó \({h_1} = 3(r - {r_1}).\) Khi đó
Thể tích hình trụ là
\(V = 3\pi r_1^2(r - {r_1}) = {{3\pi } \over 2}{r_1}.{r_1}(2r - 2{r_1}).\)
Từ đó, V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({r_1} = {{2r} \over 3}.\)
LG 2
Diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Diện tích xung quanh của hình trụ là
\(S = 2\pi {r_1}.{h_1} = 3.2\pi {r_1}(r - {r_1}) = 6\pi {r_1}(r - {r_1}).\)
Từ đó S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({r_1} = {r \over 2}.\)
