Đề bài
Xác định các giá trị k và m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng :
\(5x+ky+4z+m=0\)
\(3x-7y+z-3=0\)
\(x-9y-2z+5=0.\)
Lời giải chi tiết
Để ba mặt phẳng đã cho cùng đi qua một đường thẳng, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) phải chứa hai điểm phân biệt của đường thẳng \(\Delta \) với \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng còn lại.
Ta tìm hai điểm nào đó của \(\Delta \).
Cho y = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x + z = 3 \hfill \cr x - 2z = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {1 \over 7} \hfill \cr z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow {M_1}\left( {{1 \over 7};0;{{18} \over 7}} \right) \in \Delta \)
Cho z = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x - 7y = 3 \hfill \cr x - 9y = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {{31} \over {10}} \hfill \cr y = {9 \over {10}} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow {M_2}\left( {{{31} \over {10}};{9 \over {10}};0} \right) \in \Delta \)
Thay tọa độ điểm \({M_1},{M_2}\) vào phương trình mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) ta được hệ
\(\left\{ \matrix{ {5 \over 7} + {{72} \over 7} + m = 0 \hfill \cr {{155} \over {10}} + {{9k} \over {10}} + m = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = - 5,m = - 11.\)
