Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), A’(a’;0;0), B’(0;b’;0), C’(0;0;c’) với aa’ = bb’ = cc’≠0 ;a≠a′,b≠b′,c≠c′.
LG a
Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.
Lời giải chi tiết:
Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, A’, B, C. Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu đó, ta có IA2=IA′2=IB2=IC2
⇒{(x−a)2+y2+z2=(x−a′)2+y2+z2(x−a)2+y2+z2=x2+(y−b)2+z2(x−a)2+y2+z2=x2+y2+(z−c)2⇒{−2ax+a2=−2a′x+a′2−2ax+a2=−2by+b2−2ax+a2=−2cz+c2
⇒x=a+a′2⇒y=b2+aa′2b và z=c2+aa′2c
Vậy I=(a+a′2;b2+aa′2b;c2+aa′2c)
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có :
R2=IB2=(a+a′2)2+(aa′−b22b)2+(c2+aa′2c)2.
Mặt khác :
IB′2=(a+a′2)2+(b2+aa′2b−b′)2+(c2+aa′2c)2
=(a+a′2)2+(b2−aa′2b)2+(c2+aa′2c)2 (vì aa’ = bb’)
=IB2=R2
Tương tự IC′2=IC2=R2.
Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu nói trên.
LG b
Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’).
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm ΔABC, ta có →OG=(a3;b3;c3)
Để chứng minh OG vuông góc với mp(A’B’C’), ta chỉ cần chứng minh
{→OG.→A′B′=0→OG.→A′C′=0
Vì →A′B′=(−a′;b′;0),→A′C′=(−a′;0;c′)
Nên →OG.→A′B′=−aa′3+bb′3+0=0
→OG.→A′C′=−aa′3+0+cc′3=0 (đpcm).
