Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), A’(a’;0;0), B’(0;b’;0), C’(0;0;c’) với aa’ = bb’ = cc’\( \ne 0\) ;\(a \ne a',b \ne b',c \ne c'.\)
LG a
Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.
Lời giải chi tiết:
Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, A’, B, C. Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu đó, ta có \(IA{^2} =IA{'^2} = I{B^2} = I{C^2}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - a')^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \cr {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(y - b)^2} + {z^2} \hfill \cr {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {(z - c)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 2ax + {a^2} = - 2a'x + a{'^2} \hfill \cr - 2ax + {a^2} = - 2by + {b^2} \hfill \cr - 2ax + {a^2} = - 2cz + {c^2} \hfill \cr} \right. \cr & \cr} \)
\( \Rightarrow x = {{a + a'} \over 2} \Rightarrow y = {{{b^2} + aa'} \over {2b}}\) và \(z = {{{c^2} + aa'} \over {2c}}\)
Vậy \(I = \left( {{{a + a'} \over 2};{{{b^2} + aa'} \over {2b}};{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)\)
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có :
\(\eqalign{ & {R^2} = I{B^2} \cr&= {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{aa' - {b^2}} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}. \cr & \cr} \)
Mặt khác :
\( I{{B\,'}^2} = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2}{\rm{ + aa}}'} \over {2b}} - b'} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2} \)
\( = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2} - aa'} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2} \) (vì aa’ = bb’)
\( = IB^2 = {R^2}\)
Tương tự \(IC\,'{^2} = I{C^2} = {R^2}.\)
Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu nói trên.
LG b
Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’).
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), ta có \(\overrightarrow {OG} = \left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right)\)
Để chứng minh OG vuông góc với mp(A’B’C’), ta chỉ cần chứng minh
\(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'} = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vì \(\overrightarrow {A'B'} = ( - a';b';0),\overrightarrow {A'C'} = ( - a';0;c')\)
Nên \( \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'} = - {{aa'} \over 3} + {{bb'} \over 3} + 0 = 0 \)
\(\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'} = - {{aa'} \over 3} + 0 + {{cc'} \over 3} = 0\) (đpcm).
