Giải bài 1.23 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc \(\alpha = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1)

Lời giải chi tiết

Dựng \(AH \bot CD\).

Đặt \(x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi \over 2}\) , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.

Diện tích hình thang là

\(S = {{AB + CD} \over 2}AH \)

\(= (1 + \cos x)\sin x\)

với \(0 < x < {\pi \over 2}\)

Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}S'\left( x \right) = - {\sin ^2}x + \left( {1 + \cos x} \right)\cos x\\ = {\cos ^2}x - 1 + \cos x + {\cos ^2}x\\ = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\\ = \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right)\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\).

BBT:

Hình thang có diện tích lớn nhất khi \(\alpha = {{2\pi } \over 3}\) .

Khi đó diện tích hình thang là \(S = {{3\sqrt 3 } \over 4}({m^2})\)