Đề bài
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc α=^DAB=^CBA sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1)
Lời giải chi tiết
Dựng AH⊥CD.
Đặt x=^ADC,0<x<π2 , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.
Diện tích hình thang là
S=AB+CD2AH
=(1+cosx)sinx
với 0<x<π2
Bài toán quy về: Tìm x∈(0;π2) sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;π2)
S′(x)=−sin2x+(1+cosx)cosx=cos2x−1+cosx+cos2x=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)S′(x)=0⇔[cosx=−1cosx=12⇔[x=π+k2πx=±π3+k2π
Mà x∈(0;π2) nên x=π3.
BBT:
Hình thang có diện tích lớn nhất khi α=2π3 .
Khi đó diện tích hình thang là S=3√34(m2)
