Đề bài
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc \(\alpha = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1)
Lời giải chi tiết
Dựng \(AH \bot CD\).
Đặt \(x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi \over 2}\) , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.
Diện tích hình thang là
\(S = {{AB + CD} \over 2}AH \)
\(= (1 + \cos x)\sin x\)
với \(0 < x < {\pi \over 2}\)
Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}S'\left( x \right) = - {\sin ^2}x + \left( {1 + \cos x} \right)\cos x\\ = {\cos ^2}x - 1 + \cos x + {\cos ^2}x\\ = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\\ = \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right)\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Mà \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\).
BBT:
Hình thang có diện tích lớn nhất khi \(\alpha = {{2\pi } \over 3}\) .
Khi đó diện tích hình thang là \(S = {{3\sqrt 3 } \over 4}({m^2})\)
