LG a
Cho mặt cầu có phương trình x2+y2+z2−6x−2y+4z+5=0 và điểm M0(4;3;0). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy điểm M0(4;3;0) thuộc mặt cầu và điểm I(3;1;−2) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến →IM0, nó có phương trình :
1.(x−4)+2(y−3)+2(z−0)=0 hay x+2y+2z−10=0.
LG b
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) có phương trình x+2y−2z+5=0.
Lời giải chi tiết:
Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng (α) nên R=|−2+2−2+5|√1+4+4=1.
Vậy phương trình mặt cầu là
(x+2)2+(y−1)2+(z−1)2=1.
LG c
Cho bốn điểm A(3;−2;−2),B(3;2;0),C(−1;1;2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
Lời giải chi tiết:
Ta có →BC=(−3;0;1),→BD=(−4;−1;2)
⇒[→BC,→BD]=(1;2;3).
Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :
1(x−3)+2(y−2)+3(z−0)=0 hay x+2y+3z−7=0.
Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :
R=d(A,(BCD))=|3+2(−2)+3(−2)−7|√1+4+9=√14.
Vậy phương trình mặt cầu là :
(x−3)2+(y+2)2+(z+2)2=14.
LG d
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mặt phẳng x+y+z−3=0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng
x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0.
Ta có A∈(S)⇒1−2a+d=0,B∈(S)⇒1−2b+d=0,C∈(S)⇒1−2c+d=0.
Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng x+y+z−3=0 nên a+b+c−3=0.
Giải hệ {1−2a+d=01−2b+d=01−2c+d=0a+b+c−3=0⇒a=b=c=d=1.
Vậy phương trình mặt cầu là
x2+y2+z2−2x−2y−2z+1=0.
