LG a
Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số
y=−x3+mx+n
Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1;4).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f′(x)=−3x2+mf″(x)=−6x
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left( {dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}
Do đó f\left( x \right) = - {x^3} + 3x + n.
Đồ thị đi qua \left( {1;4} \right) \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4
\Leftrightarrow - {1^3} + 3.1 + n = 4
\Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2
Vậy m = 3,n = 2.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị m, n vừa tìm được.
Lời giải chi tiết:
Với m = 3,n = 2 ta có y = - {x^3} + 3x + 2
+) TXĐ: D = \mathbb{R}.
+) Chiều biến thiên:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty
\begin{array}{l}y' = - 3{x^2} + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}
BBT:
Hàm số nghịch biến trên \left( { - \infty ; - 1} \right) và \left( {1; + \infty } \right).
Hàm số đồng biến trên \left( { - 1;1} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = 1,{y_{CD}} = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1,{y_{CT}} = 0.
+) Đồ thị:
\begin{array}{l}y'' = - 6x\\y'' = 0 \Leftrightarrow - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = 2\end{array}
Điểm uốn I\left( {0;2} \right).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0;2} \right), đi qua điểm \left( { - 2;4} \right).
Điểm cực đại \left( {1;4} \right) và điểm cực tiểu \left( { - 1;0} \right).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l} - {x^3} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \left( {2;0} \right) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \left( { - 1;0} \right).
