Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
Δ:{x=3+ty=−1+2tz=4
Gọi Δ′ là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
(α):x−3y+z=0 và (α′):x+y−z+4=0
và điểm M0 (1; 1; 2).
LG a
Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng Δ và Δ′
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng Δ đi qua No(3;−1;4) và có vectơ chỉ phương →u(1;2;0).
Đường thẳng Δ′ đi qua N′o(−2;0;2) và có vectơ chỉ phương
→u′=(|−311−1|;|11−11|;|1−311|)=(2;2;4)
Ta có [→u,→u′]=(8;−4;−2),→NoN′o=(−5;1;−2), suy ra
[→u,→u′].→NoN′o=8(−5)+(−4).1−2(−2)
=−40≠0.
Vậy Δ và Δ' chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng chứa Δ′ song song với Δ
Lời giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa Δ' và song song với Δ, khi đó (P) đi qua điểm N′o(−2;0;2)∈Δ′ và có vectơ pháp tuyến →nP=12[→u,→u′]=(4;−2;−1).
Vậy phương trình mp(P) là :
4(x+2)−2(y−0)−1(z−2)=0 hay 4x−2y−z+10=0.
LG c
Viết phương trình mặt phẳng qua M0 và vuông góc với Δ .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là mặt phẳng qua Mo(1;1;2) và vuông góc với Δ. Khi đó, (Q) nhận vectơ →u=(1;2;0) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :
1(x−1)+2(y−1)=0 hay x+2y−3=0.
LG d
Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả Δ và Δ′ .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng qua Mo, cắt cả Δ và Δ'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β)=(Mo,Δ) và (β′)=(Mo,Δ′)
Mặt phẳng (β) đi qua Mo(1;1;2) và có vectơ pháp tuyến →nβ=[→MoNo,→u].
Ta có →MoNo=(2;−2;2),→u=(1;2;0), suy ra
→nβ=(|−2220|;|2201|;|2−212|)=(−4;2;6).
Vậy phương trình mp(β) là :
−4(x−1)+2(y−1)+6(z−2)=0 hay −2x+y+3z−5=0.
Mặt phẳng (β) đi qua Mo(1;1;2) và có vectơ pháp tuyến →nβ′=[→MoN′o,→u′].
Ta có →MoN′o=(−3;−1;0),→u′=(2;2;4), suy ra
[→MoN′o,→u′]=(|−1024|;|0−342|;|−3−122|)
=(−4;12;−4).
Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (β′) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (β′) có phương trình là :
1.(x−1)−3(y−1)+1(z−2)=0 hay x−3y+z=0.
Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng −2x+y+3z−5=0 và x−3y+z=0 thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là
{x=−3+2ty=−1+tz=t.
Dễ thấy d cắt cả Δ và Δ'.
LG e
Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′
Lời giải chi tiết:
d(Δ,Δ′)=|[→u,→u′].→NoN′o||[→u,→u′]|=20√21.
LG g
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của Δ và Δ′
Lời giải chi tiết:
Gọi đường vuông góc chung của Δ và Δ' là δ. Khi đó, vectơ chỉ phương của δ là →uδ=12[→u,→u′]=(4;−2;−1).
Gọi (β1) là mp(Δ,δ) thì (β1) đi qua No và có vectơ pháp tuyến
→n1=[→u,→uδ]=(−2;1;−10).
Vậy phương trình của (β1) là
−2(x−3)+1(y+1)−10(z−4)=0 hay 2x−y+10z−47=0.
Gọi (β2) là mp(Δ′,δ) thì (β2) đi qua N′o và có vectơ pháp tuyến →n2=[→u′,→uδ]=(6;18;−12).
Vậy (β2) có phương trình là
(β2) : x+3y−2z+6=0.
Do đó, đường vuông góc chung δ của Δ và Δ' là giao tuyến của hai mặt phẳng :2x−y+10z−47=0 và x+3y−2z+6=0.
Phương trình tham số của δ là {x=237−4ty=−37+2tz=4+t.
