Đề bài
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz.Chứng minh rằng nếu tia Ox vuông góc với tia phân giác của góc \(\widehat {yOz}\) thì \(\widehat {xOy} + \widehat {xOz} = {180^0}.\)
Lời giải chi tiết
Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A, B, C sao cho :
OA=OB=OC=1.
Khi đó vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) là vec tơ chỉ phương của tia phân giác trong của góc yOz. Từ giả thiết ta suy ra :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {OA} .\overrightarrow u = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow OA.OB.\cos \widehat {xOy}\) +OA.OC.cos\(\widehat {xOz} = 0\)
\( \Leftrightarrow \)cos\(\widehat {xOy}\) + cos\(\widehat {xOz} = 0\)
\( \Rightarrow \widehat {xOy} + \widehat {xOz} = {180^0}\)
