Đề bài
Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng cách r. Gọi hA,hB,hC,hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng :
1r=1hA+1hB+1hC+1hD.
Lời giải chi tiết
Khối tứ diện ABCD được phân chia thành bốn khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Từ đó dễ thấy rằng :
VO.BCDVABCD=rhA,VO.CADVABCD=rhB,VO.ABDVABCD=rhC,VO.ABCVABCD=rhD.
Suy ra :
VO.BCD+VO.CAD+VO.ABD+VO.ABCVABCD=r(1hA+1hB+1hC+1hD)⇒VABCDVABCD=r(1hA+1hB+1hC+1hD)⇒1r=1hA+1hB+1hC+1hD.
