Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất sau:
LG 1
Thể tích hình hộp đạt giá trị lớn nhất
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta nhận xét rằng hình hộp nội tiếp mặt cầu phải là hình hộp chữ nhật.
Từ đó, nếu kí hiệu ba kích thước của hình hộp đó là x, y, z thì x2+y2+z2=4R2
Thể tích khối hộp chữ nhật là V = xyz, từ đó V2=x2y2z2.
Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x2=y2=z2=4R23 hay x=y=z=2R√3, tức hình hộp đó là hình lập phương với cạnh bằng 2R√3
LG 2
Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Tổng độ dài các cạnh của hình hộp là T=4(x+y+z), từ đó
T2=16(x+y+z)2
≤16.3(x2+y2+z2)
=192R2
Như vậy, tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x=y=z=2R√3 hay hình hộp đó là hình lập phương có cạnh bằng 2R√3
