Đề bài
Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:
{|z|=|w|=1z+w=li
Trong đó l là số thực cho trước.
Lời giải chi tiết
Ta xét các trường hợp sau:
1) l=0. Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho |z|=1, còn w=−z
2) l≠0. Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.
Do l≠0 nên P khác O. Điều kiện z+w=li tương đương với điều kiện →OA+→OB=→OP. Nhưng vì |z|=|w|=1 nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:
Khi 0≠|l|<2 thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số ±12√4−l2+l2i
Khi l=2 thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi l=−2 thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi |l|>2 thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.
