Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng (P):x+y+z−1=0.
LG 1
Viết phương trình đựờng thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương →u1=(1;−1;2). thẳng d2 đi qua điểm M1(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương →u2=(2;1;−1).
Ta có [→u1,→u2]=(−1;5;3),→M1M2=(−8;4;14)
⇒[→u1,→u2].→M1M2=70≠0
⇒d1,d2 chéo nhau.
LG 2
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).
Lời giải chi tiết:
Gọi (α) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó mp(α) qua điểm M2(−8;6;10) và có vec tơ pháp tuyến →n=[→u1,→u2]=(−1;5;3)
⇒(α):x−5y−3z+68=0.
LG 3
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.
Lời giải chi tiết:
d(d1,d2)=d(M1,(α)
=|0−10+12+68|√1+25+9=70√35=2√35.
LG 4
Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.
Lời giải chi tiết:
Viết lại phương trình đường thẳng d1,d2 dưới dạng tham số. Từ đó :
M∈d1 nên M=(t;2-t;-4+2t)
N∈d2 nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)
⇒→MN=(−8+2t′−t;4+t′+t;14−t′−2t).
Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi MN∥Ox hay hai vec tơ →MNvà →i(1;0;0) cùng phương, nghĩa là
{t′+t=−4t′+2t=14⇔{t=18t′=−22.
Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :
d:{x=18+ty=−16z=32.
LG 5
Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB (K≠B) sao cho
d(K,(P))=d(B,(P)).
Lời giải chi tiết:
A∈d1⇒A=(t;2−t;−4+2t),B∈d2⇒B=(−8+2t′;6+t′;10−t′),⇒→AB=(−8+2t′−t;4+t′+t;14−t′−2t).→AB⊥→u1⇔6t+t′=16,→AB⊥→u2⇔t+6t′=26.
Giải hệ {6t+t′=16t+6t′=26⇒{t=2t′=4
⇒A=(2;0;0);B=(0;10;6).
Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng √35. Phương trình của nó là :
(x−1)2+(y−5)2+(z−3)2=35.
LG 6
Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
