Đề bài
Tìm các số thực p và q sao cho hàm số
f(x)=x+p+qx+1
Đạt cực đại tại điểm x=−2 và f(−2)=−2.
Lời giải chi tiết
Ta có
f′(x)=1−q(x+1)2 với mọi x≠−1
- Nếu q≤0 thì f′(x)>0 với mọi x≠−1.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞).
Hàm số không có cực đại, cực tiểu.
- Nếu q > 0 thì phương trình
f′(x)=x2+2x+1−q(x+1)2=0
Có hai nghiệm phân biệt x1=−1−√q và x2=−1+√q
Hàm số đạt cực đại tại điểm x1=−1−√q và đạt cực tiểu tại điểm x2=−1+√q.
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi
−1−√q=−2⇔√q=1 ⇔q=1
f(−2)=−2⇔p=1
