Đề bài
Với giá trị nào của m, phương trình
\(4{x^3} - 3x - 2m + 3 = 0\)
Có một nghiệm duy nhất ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(f(x) = 4{x^3} - 3x + 3 = 2m\)
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hàm số \(y = 4{x^3} - 3x + 3\) và đường thẳng \(y = 2m\)
Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 4{x^3} - 3x + 3\).
Từ đó dễ dàng tìm được các giá trị sao cho đường thẳng \(y = 2m\) cắt (C) tại đúng một điểm.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}4{x^3} - 3x - 2m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x + 3 = 2m\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3x + 3\) trên \(\mathbb{R}\) ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 12{x^2} - 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\end{array}\)
BBT:
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng \(y = 2m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất.
Quan sát BBT ta thấy \(\left[ \begin{array}{l}2m < 2\\2m > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\)
Vậy \(m < 1\) hoặc \(m > 2\).
