Đề bài
Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.
Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
Lời giải chi tiết
\( \bullet \) Xét mp(\(\alpha \)) qua trục SO của hình nón thì (\(\alpha \)) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, (\(\alpha \)) cắt mặt cầu đã cho theo thiết diện là hình vuông MNPQ (hình vuông nội tiếp \(\Delta SAB).\)
Đặt \(\widehat {SAB}\) =\(\alpha \) thì SA = SB = \(2R\sin \alpha .\)
Và \(OB = SB\cos \alpha = R\sin 2\alpha .\) Từ đó diện tích xung quanh của hình nón là
\({S_{xq}} = \pi R.\sin 2\alpha .2R\sin \alpha = 4\pi {R^2}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \)
\(= 4\pi {R^2}(1 - {\cos ^2}\alpha )cos\alpha .\)
Đặt \(f(t) = (1 - {t^2})t\) với \(0 < t = \cos \alpha < 1.\)
Dễ thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over {\sqrt 3 }} = \cos \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 .\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \). Khi ấy \({{SO} \over {OB}} = \tan \alpha = \sqrt 2 ,\) tức là \(SO = OB\sqrt 2 .( * )\)
Vậy hình nón có đường cao và bán kính đáy thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\) nội tiếp mặt cầu đã chốc diện tích xung quanh lớn nhất.
Dễ thấy \({{S{O_1}} \over {SO}} = {{MQ} \over {AB}} = {x \over {AB}}\) (đặt MQ = MN = x).
Khi ấy \({{SO - x} \over {SO}} = {x \over {AB}} \Rightarrow SO - x = {{SO} \over {AB}}.x = {{\sqrt 2 } \over 2}x.\)
Từ đó \(SO = {x \over 2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right).\) (1)
Mặt khác \(SO = OB\tan \alpha = R\sin 2\alpha .\tan \alpha = 2R{\sin ^2}\alpha .\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x = {{4R{{\sin }^2}\alpha } \over {2 + \sqrt 2 }} = {{4R.{2 \over 3}} \over {2 + \sqrt 2 }} = {{8R} \over {3\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = {4 \over 3}R\left( {2 - \sqrt 2 } \right).\)
Vậy chiều cao của hình trụ phải tìm là \({{4R} \over 3}\left( {2 - \sqrt 2 } \right).\)
