LG a
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số
f(x)=x3+ax2+bx+c
Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
Lời giải chi tiết:
(C) cắt trục tung tại (0;2) nên 2=f(0)
⇔2=03+a.02+b.0+c
⇔c=2
Vì đồ thị của hàm số cần tìm đi qua điểm (-1;1) nên f(−1)=−1+1−b+2=1.
Do đó a=b.
Ta có: f′(x)=3x2+2ax+b
Vì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y=1 tại điểm có hoành độ là -1 nên f′(−1)=3−2a+b=0
Hay −2a+b=−3.
Ta có hệ:
{a=b−2a+b=−3 ⇔{a=b−2a+a=−3 ⇔{a=3b=3
Vậy a=3,b=3,c=2.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của a, b, c.
Lời giải chi tiết:
Với a=3,b=3,c=2 ta có y=x3+3x2+3x+2
+) TXĐ: D=R.
+) Chiều biến thiên:
lim
\begin{array}{l}y' = 3{x^2} + 6x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\end{array}
y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} nên hàm số đồng biến trên \mathbb{R}.
Hàm số không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
\begin{array}{l}y'' = 6x + 6\\y'' = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 1\end{array}
Điểm uốn I\left( { - 1;1} \right).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0;2} \right).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} + x + 1 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \left( { - 2;0} \right).
