Đề bài
Cho tứ diện ABCD với A(3;5;-1), B(7;5;3), C(9;-1;5), D(5;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Lời giải chi tiết
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của hình tứ diện thì :
+) Hoặc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy.
+) Hoặc mp\(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường trung bình của tứ diện.Có ba mặt phẳng như vậy.
Tóm lại, ta có bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài là
\(\eqalign{ & x - z - 6 = 0;x + y - 10 = 0;x + 2y - z - 8 = 0;\cr&2x + y - z - 14 = 0; x - y - z - 2 = 0;\cr&2x + y + z - 16 = 0;5x + y - 2z - 28 = 0. \cr} \)
