Đề bài
Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA⊥(ABC),SC=a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Ta có BC⊥AC nên BC⊥SC (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC).
Đặt ^SCA=x(0<x<π2)
Khi đó :
SA=asinx,AC=acosx.VS.ABC=asinx3.a2cos2x2=a36sinx.cos2x.
Xét hàm số y(x)=sinxcos2x.
Ta có :
y′(x)=cos3x−2cosx.sin2x=cosx(cos2x−2+2cos2x)=cosx(3cos2x−2)=3cosx(cosx−√23)(cosx+√23).
Vì 0<x<π2 nên cosx(cosx+√23)>0.
Gọi α là góc sao cho cosα=√23,0<α<π2.
Ta có bảng biến thiên của hàm y(x)=sinx.cos2x:
Vậy VS.ABC đạt giá trị lớn nhất khi x=α với 0<α<π2 và cosα=√23.
