Giải bài 1.38 trang 18 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

LG a

\(y = {{2{x^2} + 1} \over {{x^2} - 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{{x - 2}}.\frac{1}{x}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{x}.\frac{1}{{x - 2}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 2\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2
\end{array}\)

Vậy:

Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.

LG b

\(y = {x \over {1 - {x^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{1 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{x}{{1 + x}}.\frac{1}{{1 - x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty
\end{array}\)

Tiệm cận đứng: x = 1.

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{1 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{x}{{1 - x}}.\frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty
\end{array}\)

Tiệm cận đứng: x = -1.

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{1 - {x^2}}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0
\end{array}\)

Tiệm cận ngang: y = 0.

LG c

\(y = {{{x^3}} \over {{x^2} - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}.\frac{1}{{x - 1}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty
\end{array}\)

Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ - }\))

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty
\end{array}\)

Tiệm cận đứng: x = -1.

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = 0
\end{array}\)

Tiệm cận xiên: y = x.

LG d

\(y = {{\sqrt x } \over {4 - {x^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 + x}}.\frac{1}{{2 - x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty
\end{array}\)

Tiệm cận đứng: x = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{4 - {x^2}}} = 0\)

Tiệm cận ngang: y = 0.