Đề bài
Với các giá trị nào của a, hàm số
f(x)=−13x3+2x2+(2a+1)x−3a+2
nghịch biến trên R ?
Lời giải chi tiết
Ta có: f′(x)=−x2+4x+2a+1
Δ′=2a−5;Δ′=0⇔a=−52
+) Nếu a=−52 thì f′(x)=−(x−2)2≤0 với mọi x∈R, f′(x)=0 chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên R
+) Nếu Δ′<0 thì phương trình f′(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (giả sử x1<x2). Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng (x1,x2). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.
+) Nếu Δ′<0, tức là a<−52 thì f(x)<0 với mọi x∈R. Do đó hàm số nghịch biến trên R
Vậy hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a≤−52
