Giải các hệ phương trình sau
LG a
\(\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left( {xy} \right)^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)
ĐKXĐ: \(xy > 0\)
Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành
\({\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}\)
Đặt \(t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left( {t > 0} \right)\) ta có \({t^2} = 2 + t\). Giải phương trình ta tìm được \(t = - 1\) (loại) và \(t = 2\). Từ đó \({\log _3}xy = 1\) hay \(xy = 3\)
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành
\({\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 18 = 0\)
Giải ra, ta được \(x + y = 6\) và \(x + y = - 3\)
Như vậy, ta có hai hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x + y = - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)
LG b
\(\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.
\(\eqalign{
& \left( {1 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}x = 6\cr
& \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 2 \hfill \cr
{\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \cr
&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr
x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy nghiệm của hệ là: \(\left( {4;3} \right),\left( {{1 \over 8}; - 2} \right)\)
