Cho hai hàm số: f(x)=−14x2+x+14 và g(x)=√x2−x+1
LG a
Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f′(x)=−12x+1g′(x)=2x−12√x2−x+1
(P) và (C ) tiếp xúc nhau ⇔ hệ {f(x)=g(x)f′(x)=g′(x) có nghiệm
Xét hệ: {f(x)=g(x)f′(x)=g′(x)
⇔{−14x2+x+14=√x2−x+1−12x+1=2x−12√x2−x+1
Thay x=1 vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.
Do đó hệ có nghiệm x=1.
Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x=1.
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.
Lời giải chi tiết:
Tại A(1;1) có: f′(1)=g′(1)=12 nên phương trình tiếp tuyến là:
y=12(x−1)+1 hay y=12x+12.
LG c
Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).
Lời giải chi tiết:
Đặt h(x)=x2+12 ta có
g(x)−h(x)=√x2−x+1−x+12
- Với x+1≤0 hay x≤−1 , ta có g(x)−h(x)>0
- Với x+1>0 hay x>−1 ta có:
g(x)−h(x)>0
⇔g(x)>h(x)⇔g2(x)>h2(x)⇔4(x2−x+1)>(x+1)2⇔3(x−1)2>0
Do đó, g(x)−h(x)≥0 với mọi x∈R và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).
Lại có:
f(x)−h(x)=−14x2+x+14−x2−12=−14x2+x2−14=−14(x2−2x+1)=−14(x−1)2≤0,∀x
Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).
Vậy ta có đpcm.
