Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho →MA=k1→MC ; N là điểm thuộc BD sao cho →NB=k2→ND . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2.
Lời giải chi tiết
Vì →MA=k1→MC
nên →IM=→IA−k1→IC1−k1
Tương tự, ta có:
→IN=→IB−k2→ID1−k2=−→IA−k2→ID1−k2
Mặt khác: →IJ=12(→IC+→ID)
Để các điểm I, I, M, N thuộc một mặt phẳng, điều kiện cần và đủ là ba vectơ →IM,→IN,→IJ đồng phẳng. Rõ ràng là →IN và →IJ không cùng phương nên điều khẳng định →IM,→IN,→IJ đồng phẳng tương đương với
→IM=p→IN+q→IJ
hay
→IA−k1→IC1−k1=p.−→IA−k2→ID1−k2+q2(→IC+→ID)⇔(11−k1+p1−k2)→IA−(k11−k1+q2)→IC+(pk21−k2−q2)→ID=→0
Do →IA,→IC,→ID không đồng phẳng nên đẳng thức trên tương đương với
{11−k1+p1−k2=0k11−k1+q2=0pk21−k2−q2=0⇒k11−k1=−pk21−k2=k21−k1
hay k1 = k2
