Đề bài
Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x∈(0;π12)
cos4x=cos23x+msin2x
Lời giải chi tiết
Ta có:
cos6x=cos(2x+4x)=cos2xcos4x−sin2xsin4x=cos2x(2cos22x−1)−2sin22xcos2x=2cos32x−cos2x−2(1−cos22x)cos2x=4cos32x−3cos2x
Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
cos4x=cos23x+msin2x⇔cos4x=1+cos6x2+m(1−cos2x)2⇔2(2cos22x−1)=1+cos6x+m−mcos2x⇔4cos22x−2=1+4cos32x−3cos2x+m=mcos2x⇔4cos32x−4cos22x−(m+3)cos2x+m+3=0
⇔(cos2x−1)[4cos22x−(m+3)]=0
⇔[cos2x=14cos22x=(m+3)
Nếu phương trình có nghiệm x∈(0;π12) thì 2x∈(0;π6),
Suy ra √32<cos2x<1 và 34<cos22x<1, nghĩa là 3<m+3<4 hay 0<m<1
Ngược lại, dễ thấy rằng nếu 0<m<1 thì phương trình có nghiệm x∈(0;π12)
