Đề bài
Cho số thực a và dãy số (un) xác định bởi
u1=a,un+1=1+un2.
Tìm lim
Lời giải chi tiết
Ta có \,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:
\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}}, với mọi n \ge 3.
Do đó {u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}}, với mọi n \ge 3.
Vậy \lim {u_n} = 2.
