Đề bài
Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B cố định với \(AB = a\sqrt 2 \) (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với ∆ và ở trong (P) lấy điểm M khác A. Đặt AM = m. Trên nửa đường thẳng By vuông góc với ∆ và trong (Q) lấy điểm N sao cho \(BN = {{{a^2}} \over m}\).
a) Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
b) Với giá trị nào của m thì MN có độ dài bé nhất? Tính giá trị đó.
c) Chứng minh rằng chân mỗi đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right),\left( P \right) \cap \left( Q \right) = AB,\)
\(M \in \left( P \right),MA \bot AB\) nên \(MA \bot \left( Q \right)\). Do đó MAB, MAN là các tam giác vuông tại A.
Tương tự như trên, các tam giác MBN, ABN vuông tại B.
b) Vì
\(\eqalign{ & M{N^2} = M{A^2} + A{B^2} + B{N^2} \cr & = {m^2} + 2{a^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}} \cr} \)
Từ đó MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi \({m^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}}\) bé nhất.
Mặt khác \({m^2}.{{{a^4}} \over {{m^2}}} = {a^4}\).
Vậy MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:
\({m^2} = {{{a^4}} \over {{m^2}}} \Leftrightarrow m = a\).
c) Vì \(\left( {MAB} \right) \bot \left( {NMB} \right)\) nên khi kẻ AA1 vuông góc với BM tại A1 thì \(A{A_1} \bot \left( {BMN} \right)\), tức A1 là chân đường cao của tứ diện ABMN kẻ từ đỉnh A.
Như vậy A1 thuộc (P) và \(\widehat {B{A_1}A} = {90^0}\), từ đó A1 thuộc đường tròn đường kính AB trong (P). Đường tròn này cố định.
Tương tự như trên, chân đường cao B1 kẻ từ đỉnh B của tứ diện ABMN cũng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng (Q).
