LG a
Chứng minh rằng phương trình
\({x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\)
Có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\) liên tục trên R \(f\left( 0 \right) = - {1 \over {100}} < 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với một số dương b đủ lớn, ta có \(f\left( b \right) > 0.\) Vì \(f\left( 0 \right)f\left( b \right) < 0\) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {0;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)
Vậy \(x = c\) là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.
LG b
Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình
\({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)
Có ít nhất một nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên R ;
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty .\)
Do đó tồn tại giá trị \(x_1\in R\) sao cho \(f(x_1)<0\) và giá trị \(x_2\in R\) sao cho \(f(x_2)>0\)
Khi đó ta có: \(f(x_1).f(x_2)<0\) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in R\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)
