Đề bài
Giải và biện luận phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) biết rằng
\(f\left( x \right) = 2\sin x + 2\left( {1 - 2m} \right)\cos x - 2mx\)
Lời giải chi tiết
Với mọi \(x \in R\), ta có
\(\eqalign{& f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\left( {1 - 2m} \right)\sin x - 2m \cr& f'\left( x \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 2m} \right)\sin x - m = 0 \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left( {1 - 2m} \right)\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
Ta có \(\Delta = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 8m + 8 \)
\(= 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2}\)
Vậy
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) - \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) + \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr} \right.\)
Giải (2), ta được
\(\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
\( \bullet \) Giải (3), với điều kiện \( - 1 \le m - 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,\) ta được
\(\sin x = m - 1 = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,(5)\)
Kết luận
a) Nếu \(m < 0\) hoặc \(m > 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4)
b) Nếu \(0 \le m \le 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4) và (5).
