Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 ≤ x ≤a).
a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD.
c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A1 và D1. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A1 và D1 thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.
Lời giải chi tiết
a) Kẻ AK⊥MB, do SA⊥(ABC) nên SK⊥MB (định lí ba đường vuông góc).
Vậy SSBM=12BM.SK
Mặt khác BM=√b2+x2 và AK.MB=2SAMB=ab
tức là AK=ab√b2+x2
Từ đó
SK2=SA2+AK2=h2+a2b2b2+x2=a2b2+b2h2+h2x2b2+x2
Vậy SSBM=12√a2b2+b2h2+h2x2
b) Với A1 là hình chiếu A trên SK, dễ thấy AA1⊥(SBM).
Từ đó AA1.SK=SA.AK
suy ra AA1=SA.AKSK
hay
AA1=h.ab√b2+x2√a2b2+b2h2+h2x2√b2+x2=abh√a2b2+b2h2+h2x2
Khi trung điểm DC thì x=a2 nên
AA1=2abh√4a2b2+4b2h2+a2h2
c) Vì AA1⊥(SMB) nên AA1⊥SB mặt khác AD⊥SB, từ đó mp(ADA1)⊥SB.
Gọi giao điểm của SB với mp(ADA1) là I thì AI⊥SB, từ đó I là điểm cố định và mp(ADA1) cố định.
Như vậy, điểm A1 nhìn AI cố định dưới góc vuông và A1 thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A1 thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI).
Bán kính của đường tròn đó bằng AI2 mà
AI.SB=SA.AB
hay AI=ah√a2+h2
Vậy bán kính của đường tròn trên bằng ah2√a2+h2.
Vì D1 là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD1 // AA1 và dễ thất D1 thuộc đường thẳng A1I.
Như vậy, D1 thuộc mp(ADI) và D1 nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D1 thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó DI2.
Mặt khác
DI2=DA2+AI2=b2+a2h2a2+h2=a2b2+b2h2+a2h2a2+h2
Từ đó, bán kính của đường tròn đó là
12√a2b2+a2h2+b2h2a2+h2
