Cho dãy số (un) xác định bởi
u1=1 và un+1=un+n với mọi n≥1.
Xét dãy số (vn), mà vn=un+1−un với mọi n≥1.
LG a
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (vn) bằng uN+1−u1.
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu SN là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (vn). Ta sẽ chứng minh
SN=uN+1−u1(1)
Với mọi N≥1, bằng phương pháp quy nạp.
Với N=1 , ta có S1=v1=u2−u1. Như vậy, (1) đúng khi N=1.
Giả sử đã có (1) đúng khi N=k,k∈N∗, Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi N=k+1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số (vn) ta có
Sk+1=Sk+vk+1=(uk+1−u1)+(uk+2−uk+1)
=uk+2−u1.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi N≥1.
LG b
Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết:
Từ định nghĩa dãy số (vn) và hệ thức xác định dãy số (un), ta có vn=n với mọi n≥1. Do đó vn+1−vn=(n+1)−n=1 với mọi n≥1. Vì thế, dãy số (vn) là một cấp số cộng với số hạng đầu v1=1 và công sai bằng 1.
