Giải bài 1.41 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

165 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:

LG a

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x$ $= {3 \over 2} - {1 \over 2}\left( {\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x} \right).$

Do đó phương trình đã cho tương đương với:

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$ $\Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0$ $\Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 3\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x + \cos 6x} \right) + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 4x = 0\\ \cos 2x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 8} + {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over 3} + k\pi$ .

LG b

${\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được

$\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$ hay $2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x$

Cuối cùng, cần chú ý thu gọn các họ nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} + \frac{{1 - \cos 8x}}{2}\\ = \frac{{1 - \cos 10x}}{2} + \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 6x + 1 - \cos 8x\\ = 1 - \cos 10x + 1 - \cos 12x\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 7x - \cos 11x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos 7x = \cos 11x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 11x = 7x + k2\pi \\ 11x = - 7x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{{k\pi }}{9} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{{k\pi }}{9} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2};x = {{k\pi } \over 9}$ .

LG c

${\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được

${1 \over 2}\left( {\cos 12x - \cos 4x} \right) + {\sin ^2}4x = 0$

Biến đổi tiếp thành $- \sin 8x\sin 4x + {\sin ^2}4x = 0$

hay $- \cos 4x{\sin ^2}4x + {\sin ^2}4x = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + {\sin ^2}4x = \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 4x + 2{\sin ^2}4x = 1 - \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x + \cos 12x - \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 2\sin 8x\sin 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 4{\sin ^2}4x\cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x\left( {1 - 2\cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 4x = 0\\ \cos 4x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = k\pi \\ 4x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{4}\\ x = \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over {12}} + {{k\pi } \over 2}$ .

LG d

${\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2$

Lời giải chi tiết:

${\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\\ + \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x\\ + 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x = 4\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x + 2\cos 7x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 3x + \cos 7x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x.2\cos 5x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos 2x = 0\\ \cos 5x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2},$ $x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}$

LG e

${\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}$

Lời giải chi tiết:

${\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x + 1 + \cos 10x = 3\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 8x\cos 2x + \cos 8x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 8x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 8x = 0\\ \cos 2x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}\\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over {16}} + {{k\pi } \over 8},x = \pm {\pi \over 3} + k\pi$

LG f

$8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức $2{\cos ^2}x = 1 + \cos 2x$ và $1 + \cos 4x = 2{\cos ^2}2x$ để biến đổi đưa về phương trình đối với $\cos 2x$

Lời giải chi tiết:

$8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} = 1 + 2{\cos ^2}2x - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = 2{\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = {\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x = {\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array}$

Vậy $x = \pm {\pi \over 3} + k\pi$

LG g

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}\\ = 2{\cos ^2}2x - 1\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2}\\ = 8{\cos ^2}2x - 4\\ \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ + 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ = 8{\cos ^2}2x - 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 1\\ \Leftrightarrow \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2}$

LG h

$3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0$

Lời giải chi tiết:

$3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 3.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 3 + 3\cos 2x + 1 + \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = - 1\\ \cos 2x = \frac{1}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \pi + k2\pi \\ 2x = \pm \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

SBT Toán lớp 11 Nâng cao