Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:
LG a
\(y = {1 \over {\sin x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(y = {1 \over {\sin x}}\) là hàm số xác định trên \({D_2}\).
Cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2},\) \({1 \over {\sin (x + T)}} = {1 \over {\sin x}}\)
Xét \(x = {\pi \over 2} \in {D_2}\), ta được \(\sin \left( {{\pi \over 2} + T} \right) = 1,\) từ đó \({\pi \over 2} + T = {\pi \over 2} + k2\pi ,\) tức \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2}\) và \({1 \over {\sin \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\sin x}}\).
Vậy hàm số \(y = {1 \over {\sin x}}\) là một hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Đó là một hàm số lẻ.
LG b
\(y = {1 \over {\cos x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(y = {1 \over {\cos x}}\) là hàm số xác định trên \({D_1}\).
Cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \) \(\({1 \over {\cos \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\cos x}}\).
Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \(\cos T = 1\), từ đó \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn các điều kiện đề ra.
Vậy hàm số \(y = {1 \over {\cos x}}\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Đó là một hàm số chẵn.
LG c
\(y = {\tan ^2}x\)
Lời giải chi tiết:
\(y = {\tan ^2}x\), cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}x.\)
Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \({\tan ^2}T = 0,\) từ đó \(\tan T = 0,\) suy ra \( T = k\pi \), k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k\pi \) thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) = {\tan ^2}x.\)
Vậy hàm số \({\tan ^2}x\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
