Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:
LG a
y=1sinx
Lời giải chi tiết:
y=1sinx là hàm số xác định trên D2.
Cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D2,x+T∈D2,x−T∈D2, 1sin(x+T)=1sinx
Xét x=π2∈D2, ta được sin(π2+T)=1, từ đó π2+T=π2+k2π, tức T=k2π, k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=k2π thỏa mãn: ∀x∈D2,x+T∈D2,x−T∈D2 và 1sin(x+T)=1sinx.
Vậy hàm số y=1sinx là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π.
Đó là một hàm số lẻ.
LG b
y=1cosx
Lời giải chi tiết:
y=1cosx là hàm số xác định trên D1.
Cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1, \) \(1cos(x+T)=1cosx.
Xét x=0∈D1, ta được cosT=1, từ đó T=k2π, k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=k2π thỏa mãn các điều kiện đề ra.
Vậy hàm số y=1cosx là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
Đó là một hàm số chẵn.
LG c
y=tan2x
Lời giải chi tiết:
y=tan2x, cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1, tan2(x+T)=tan2x.
Xét x=0∈D1, ta được tan2T=0, từ đó tanT=0, suy ra T=kπ, k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=kπ thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1 và tan2(x+T)=tan2(x+kπ)=tan2x.
Vậy hàm số tan2x là một hàm số tuần hoàn với chu kì π.
