Đề bài
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,....n} \right\}\) trong đó \(n\) là số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x,y \in A\) và \(x \ge y\) ?
Lời giải chi tiết
Gọi B là tập hợp các cặp thảo mãn điều kiện đầu bài và \(A\left( k \right) = \left[ {\left( {k;k} \right);\left( {k,k - 1} \right);...;\left( {k,1} \right)} \right]\) \(k = 1,2,...,n.\)
Ta có \(B = \bigcup\limits_{k = 1}^n {A\left( k \right),} \) và \(\left| {A\left( k \right) } \right|=k.\)
Hoặc ta có thể lí luận như sau: Một tập con có 2 phần tử A, ứng với duy nhất một cặp \(\left( {x,y} \right),\) với \(x,y\) thuộc A và \(x \ge y.\) Vậy số cặp cần tìm là:
\(C_n^2 + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)
