Đề bài
Cho ba đường tròn (I1;R1),(I2;R2),(I3;R3) không đồng tâm và không bằng nhau. Gọi O+3 và O−3 lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn (I1;R1) và (I2;R2); O+1 và O−1 lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn (I2;R2) và (I3;R3); O+2 và O−2 lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn (I3;R3) và (I1;R1). Chứng minh rằng mỗi bộ ba điểm sau đây thẳng hàng:
O+1,O+2,O+3; O+1,O−2,O−3; O−1,O+2,O−3 và O−1,O−2,O+3.
Lời giải chi tiết
Phép vị tự tâm O+3 tỉ số R2R1 biến đường tròn (I1;R1) thành đường tròn (I2;R2)
Phép vị tự tâm O+1 tỉ số R3R2 biến đường tròn (I2;R2) thành đường tròn (I3;R3).
Theo câu b) bài 54, phép hợp thành của hai phép vị tự đó là phép vị tự, có tỉ số:
R2R1.R3R2=R3R1
và biến đường tròn (I1;R1) thành đường tròn (I3;R3).
Vậy tâm của phép vị tự hợp thành đó chính là điểm O+2. Suy ra ba điểm O+1,O+2,O+3 thẳng hàng.
Chứng minh tương tự cho các bộ ba điểm còn lại.
