Tìm các giới hạn sau
LG a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - 3} \right) = - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0\) và \({x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0\) với mọi \(x > - 1\) và \(x \ne 0.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}} = - \infty ;\)
LG b
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\({{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x - 2} \right|}}\) với mọi \(x \ne 2.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x - 2} \right|}} = + \infty ;\)
LG c
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - 2{x^2}} \right) = - 17 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0\) và \(x - 3 > 0\) với mọi \(x > 3.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}} = - \infty \);
LG d
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}}.\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x > 2,\) ta có
\({{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x - 2} \sqrt {x + 2} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x - 2} }}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\) và \(\sqrt {x - 2} > 0\) với mọi \(x > 2.\) Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = + \infty .\)
