Đề bài
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a2cosα,b2cosβ,c2cosγ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.
Lời giải chi tiết
Ta có:
cos(→BC,→DA)=2c2−2b22a2=c2−b2a2.
Vậy nếu góc giữa BC và AD bằng α thì:
cosα=|c2−b2|a2 hay a2cosα=|c2−b2|.
Tương tự như trên, nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:
b2cosβ=|a2−c2|
và γ là góc giữa AB và CD thì
c2cosγ=|b2−a2|.
Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a ≥ b ≥ c. Khi đó:
a2cosα=b2−c2b2cosβ=a2−c2c2cosγ=a2−b2.
Từ đó, trong trường hợp này ta có b2cosβ=a2cosα+c2cosγ.
