Đề bài
Cho cấp số nhân (un) và cho các số nguyên dương m, k với m<k. Chứng minh rằng
|uk|=√uk−m.uk+m.
Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân (un). Xét hai trường hợp sau :
− Trường hợp 1 : q=0. Khi đó un=0 với mọi n≥2. Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.
− Trường hợp 2 : q≠0. Khi đó
uk−m=u1.qk−m−1=u1.qk−1qm=ukqmuk+m=u1.qk+m−1=u1.qk−1.qm=uk.qm
Từ đó suy ra uk−m.uk+m=u2k hay |uk|=√uk−m.uk+m
Áp dụng. Với mỗi n∈{1,2,3,4,5,6,7}, kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có u3=2 và u1.u7=18.
Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và u3>0 nên u4<0. Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho m=3 và k=4, ta được
u4=−√u1.u7=−√18=−3√2.
Suy ra q=u4u3=−3√22. Do đó
u2=u3q=−2√23,u1=u2q=49,u5=u4,q=9,u6=u5.q=−27√22,u7=u6.q=812
Vậy, cấp số nhân cần tìm là : 49,−2√23,2,−3√2,9,−27√22,812.
