Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với BC.
a) Hãy xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(P).
b) Xác định vị trí của điểm N trên CD sao cho thiết diện là một hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng (ABC) chứa BC và BC //(P) nên (ABC) cắt (P) theo giao tuyến \(ME//BC\left( {E \in AC} \right).\) Tương tự, mp(DBC) cắt (P) theo giao tuyến \(NF//BC\left( {F \in BD} \right).\) (Dễ thấy E là trung điểm của AC). Thiết diện là hình thang MENF.
b) Từ câu a), ta có:
\(ME//NF\) và \(ME = {1 \over 2}BC.\)
Vậy tứ giác MENF là hình bình hành khi và chỉ khi \(NF = ME = {1 \over 2}BC\) hay N là trung điểm của CD.
