Cho hàm số
f(x)=mx33−mx22+(3−m)x−2
Tìm m để
LG a
f′(x) với mọi x;
Lời giải chi tiết:
Với mọi x∈R, ta có
f′(x)=mx2−mx+3−m.
Ta phải xét hai trường hợp sau đây
1. Với m=0 thì f′(x)=3>0(∀x∈R). Vậy m=0 là một giá trị cần tìm.
2. Với m≠0 (khi đó f′(x) là một tam thức bậc hai) thì ta phải tìm m sao cho
{m>0Δ=m2−4(3−m)=m(5m−12)<0
⇔0<m<125
Vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiên của bài toán là 0≤m<125.
Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 (vì trong trường hợp 1, f(x) không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai).
LG b
f′(x) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;
Lời giải chi tiết:
Để f′(x) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm m sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là P=ca>0 (hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm) tức là
{m≠0Δ=m(5m−12)>03−mm>0(haym(3−m)>0)
⇔125<m<3.
LG c
Chứng minh rằng trong trường hợp có hai nghiệm(hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m.
Lời giải chi tiết:
Vì có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) nên ta có
{m≠0Δ≥0x1+x2=mm=1x1x2=3−mm⇔{m<0 hoặc m≥25x1+x2=1.
Vậy hệ thức phải tìm là x1+x2=1.
