Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\) biết rằng \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\)
Lời giải chi tiết
Theo hằng đẳng thức Pa-xcan ta có
\(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n \)\(= C_{n + 3}^{n + 1}\)\( = C_{n + 3}^2\)\( = {{(n + 3)(n + 2)} \over 2}\)
Suy ra \((n + 2)(n + 3) = 14(n + 3)\).
Vậy \(n = 12\).
Số hạng thứ \(k\) trong khai triển của biểu thức đã cho là \(C_{12}^k{x^{ - 3(12 - k)}}{x^{{{5k} \over 2}}}\).
Ta có phương trình \( - 3(12 - k) + 5{k \over 2} = 8\).
Suy ra \(11k = 88\) hay \(k = 8\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{12}^8 = 495\).
