Đề bài
Cho hàm số f:[0;1]→[0;1] liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c∈[0;1] sao cho f(c)=c.
Lời giải chi tiết
Nếu f(0)=0 hoặc f(1)=1 thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.
Giả sử f(0)≠0 và f(1)≠1. Xét hàm số g(x)=f(x)−x,x∈[0;1]. Hàm số g liên tục trên đoạn [0;1]. Vì mọi x∈[0;1],0≤f(x)≤1 nên f(0)>0 và f(1)<1. Do đó
g(0)=f(0)−0>0 và g(1)=f(1)−1<0.
Vì g(0),g(1)<1 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c∈(0;1) sao cho g(c)=f(c)−c=0, tức là f(c)=c.
