Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi A1,B1,C1,D1 là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho →A1A=k→A1B,→B1B=k→B1C , →C1C=k→C1D,→D1D=k→D1A. Với giá trị bào của k thì bốn điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng?
Lời giải chi tiết
Cách 1.
Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c thì →a,→b,→c không đồng phẳng.
Các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để
→D1B1=m→D1A1+n→D1C1(1)
Từ hệ thức →B1B=k→B1C, ta có
→D1B1=→D1B−k→D1C1−k
hay
→D1B1=→D1D+→DB−k(→D1D+→DC)1−k=→D1D+11−k→b−k1−k→c
Mặt khác
→D1D=k→D1A=k(→D1D+→DA)⇒→D1D=k1−k→a
Vậy →D1B1=k1−k→a+11−k→b−k1−k→c.
Tương tự như trên, ta có
→D1A1=→D1A−k→D1B1−k=→D1D+→DA−k(→D1D+→DB)1−k=→D1D+11−k→a−k1−k→b
hay
→D1A1=k+11−k→a−k1−k→b(3)→D1C1=→D1C−k→D1D1−k=→D1D+→DC−k→D1D1−k=→D1D+11−k→c
do đó →D1C1=k1−k→a+11−k→c.(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi
k→a+→b−k→c
=(mk+nk+m)→a−mk→b+n→c
Do →a,→b,→c không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để
{k=mk+nk+m1=−mk−k=n
Điều đó tương đương với k=−1−k2−1k hay k3+k2+k+1=0 hay k = -1.
Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng.
Cách 2.
Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c. Tìm k để các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn
→DA1=x→DB1+y→DC1+z→DD1
với x + y + z = 1 (a)
Từ hệ thức →A1A=k→A1B ta có
→DA1=→DA−k→DB1−k=11−k→a−k1−k→b(1)
Tương tự như trên, ta cũng có
→DB1=11−k→b−k1−k→c(2)
Mặt khác từ →C1C=k→C1D ta có
→C1D+→DC=k→C1D⇔→DC1=11−k→c(3)
Tương tự từ →D1D=k→D1A, ta cũng có
→D1D=k1−k→a(4)
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra
→DA1=−1k→DD1−k→DB1−k2→DC1(b)
Từ (a) và (b) ta có các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:
−1k−k−k2=1⇔k3+k2+k+1=0⇔k=−1
Vậy với k = -1 thì các điểm A1,B1,C1,D1 cùng thuộc một mặt phẳng.
