Đề bài
Chứng minh rằng nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)
H.D. Xét trường hợp \(0 < q < 1.\) Khi đó \(p = {1 \over q} > 1.\) Do đó
\(p = 1 + h\) với \(h = p - 1 > 0\) và \({1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh\) với mọi n
Lời giải chi tiết
Chỉ cần chứng minh cho trường hợp \(0 < q < 1.\) Khi đó, đặt \(p = {1 \over q},\) ta được \(p > 1.\) Do đó
\(p = 1 + h\) với \(h = p - 1 > 0\)
Ta có
\({1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh > nh\) với mọi n
Do đó
\(0 < {q^n} < {1 \over h}.{1 \over n}\) với mọi n
Vì \(\lim {1 \over n} = 0\) nên từ đó suy ra
\(\lim {q^n} = 0\)
