Đề bài
Chứng minh rằng nếu |q|<1 thì lim
H.D. Xét trường hợp 0 < q < 1. Khi đó p = {1 \over q} > 1. Do đó
p = 1 + h với h = p - 1 > 0 và {1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh với mọi n
Lời giải chi tiết
Chỉ cần chứng minh cho trường hợp 0 < q < 1. Khi đó, đặt p = {1 \over q}, ta được p > 1. Do đó
p = 1 + h với h = p - 1 > 0
Ta có
{1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh > nh với mọi n
Do đó
0 < {q^n} < {1 \over h}.{1 \over n} với mọi n
Vì \lim {1 \over n} = 0 nên từ đó suy ra
\lim {q^n} = 0
