Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr
2{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi
\({v_n} = {u_n} - 1\) với mọi n
LG a
Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết:
Với mọi n, ta có
\({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.\)
Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}.\)
LG b
Gọi \({S_n}\) là tổng số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm \(\lim {S_n}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
{S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr
& = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr} \)
Trong đó \({s_n}\) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{v_n}} \right)\). Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là
\(s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.\)
Do đó
\(\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) = + \infty \).
