Cho dãy số (un) xác định bởi
{u1=32un+1=un+1
Gọi (vn) là dãy số xác định bởi
vn=un−1 với mọi n
LG a
Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết:
Với mọi n, ta có
vn+1=un+1−1=un+12−1=un−12=12vn.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số nhân với công bội q=12.
LG b
Gọi Sn là tổng số hạng đầu tiên của dãy số (un). Tìm lim
Lời giải chi tiết:
Ta có
\eqalign{ {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr & = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr}
Trong đó {s_n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \left( {{v_n}} \right). Tổng của cấp số nhân \left( {{v_n}} \right) là
s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.
Do đó
\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) = + \infty .
