Cho hàm số
f(x)=x+x22+x33+...+xn+1n+1(n∈N)
Tìm
LG a
lim
Phương pháp giải:
Ta có
f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu {u_1} = 1 và công bội q = x \ne 1 ta được:
f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}
Lời giải chi tiết:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1
LG b
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right)
Phương pháp giải:
Ta có
f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu {u_1} = 1 và công bội q = x \ne 1 ta được:
f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}
Lời giải chi tiết:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1
LG c
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right)
Phương pháp giải:
Ta có
f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu {u_1} = 1 và công bội q = x \ne 1 ta được:
f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}
Lời giải chi tiết:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2(vì\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0)
LG d
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right)
Phương pháp giải:
Ta có
f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}
Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu {u_1} = 1 và công bội q = x \ne 1 ta được:
f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}
Lời giải chi tiết:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) = + \infty
(vì \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0 suy ra\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} = + \infty )
