LG a
Cho một số h>0. Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng
(1+h)n≥1+nh+n(n−1)2h2
Lời giải chi tiết:
(1+h)n≥1+nh+n(n−1)2h2 (1)
+) Với n = 1, (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là (1+h)k≥1+kh+k(k−1)2h2
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
LG b
Chứng minh rằng nếu q>1 thì
lim
Lời giải chi tiết:
Vì q > 1 nên tồn tại số dương h sao cho h = q - 1 > 0. Từ bất đẳng thức trong câu a) suy ra
{q^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}
Do đó
{{{q^n}} \over n} \ge {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right) với mọi n
Vì \lim {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right) = + \infty nên từ đó suy ra
\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty
LG c
Cho q > 1. Tìm \lim {n \over {{q^n}}}
Hướng dẫn: b) Đặt q = 1 + h và áp dụng a)
Lời giải chi tiết:
Từ b) suy ra \lim {n \over {{q^n}}} = 0
