Đề bài
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A cố định thuộc đường tròn, đường kính BC quay quanh O, (BC không trùng với OA). Đặt ^ABC=α. Điểm S nằm trong không gian sao cho SA vuông góc với (P) và SA = 2R.
a) Chứng minh rằng chân đường cao SH của tam giác SBC thuộc một đường tròn cố định.
b) Xác định α để diện tích tam giác SBC đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị đó.
Lời giải chi tiết
a) Vì SA⊥(P) và SH⊥BC nên AH⊥BC (định lí ba đường vuông góc) hay ^AHO=900. Như vậy H thuộc đường tròn đường kính AO trong mp(P). Đường tròn này cố định.
b) SSBC=12BC.SH=R.SH
Do đó SSBC lớn nhất khi và chỉ khi SH lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi AH lớn nhất, tức là H và O trùng nhau, khi đó α=450.
Khi α=450 thì SSBC=R.√4R2+R2=R2√5.
