Đề bài
Xét dãy số (un) xác định bởi u1=a và un+1=12un với mọi n≥1, trong đó a là một số thực khác 0.
Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số (un) là một cấp số nhân.
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết a≠0 dễ dàng suy ra un≠0 với mọi n≥1.
Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.
Giả sử (un) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số q>0 sao cho
un+1=un.q với mọi n≥1 (1)
Từ (1) và hệ thức xác định dãy số (un) suy ra
u2n=12q với mọi n≥1 (2)
Xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: a>0. Khi đó, ta có un>0 với mọi n≥1. Vì thế, từ (2) ta được
un=2√3√q với mọi n≥1.
Hay (un) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có u2=a hay 12a=a. Dẫn tới a=2√3
- Trường hợp 2: a<0. Khi đó, ta có un<0 với mọi n≥1. Vì thế, từ (2) ta được
un=−2√3√q với mọi n≥1.
Hay (un) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có u2=a hay 12a=a. Dẫn tới a=−2√3
Ngược lại:
- Với a=2√3 dễ dàng chứng minh được un=2√3 với mọi n≥1. Do đó, dãy số (un) là một cấp số nhân với công bộ q=1
- Với a=−2√3 dễ dàng chứng minh được un=−2√3 với mọi n≥1. Do đó, dãy số (un) là một cấp số nhân với công bộ q=1
Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là a=2√3 và a=−2√3.
