Đề bài
Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là một số thực khác 0.
Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân.
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết \(a \ne 0\) dễ dàng suy ra \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \ge 1.\)
Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.
Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \(q > 0\) sao cho
\({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với mọi \(n \ge 1\) (1)
Từ (1) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra
\(u_n^2 = {{12} \over q}\) với mọi \(n \ge 1\) (2)
Xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: \(a > 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được
\({u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)
Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = 2\sqrt 3 \)
- Trường hợp 2: \(a < 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} < 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được
\({u_n} = - {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)
Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = - 2\sqrt 3 \)
Ngược lại:
- Với \(a = 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)
- Với \(a = - 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = - 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)
Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \(a = 2\sqrt 3 \) và \(a = - 2\sqrt 3 \).
