Cho dãy số (un) xác định bởi
{u1=14un+1=u2n+un2voimoin
Chứng minh rằng
LG a
0<un≤14 với mọi n
Lời giải chi tiết:
0<un≤14 với mọi n (1)
+) Với n = 1 u1=14, (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có 0<uk≤14
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
uk+1=u2k+uk2=uk.(uk+12)≤14
(do0<uk≤14)
Vậy (1) đã được chứng minh.
LG b
un+1un≤34với mọi n
Từ đó suy ra lim
Lời giải chi tiết:
{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4} với mọi n
Từ đó suy ra
\eqalign{ & {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr & {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left( {{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},... \cr & 0 \le {u_n} < {\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} \cr}
\lim {{1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} } = 0
Theo nguyên lý kẹp ta có \lim {u_n} = 0
